反证法教案ppt

2．2.2　反证法
理解反证法的概念，掌握反证法证题的步骤．
本节重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤．
本节难点：应用反证法解决问题．
反证法，不是从已知条件去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上进行演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．
应用反证法证明数学命题的一般步骤：
(1)分清命题的条件与结论．
(2)做出与命题结论相矛盾的假设．
(3)由假设出发应用正确的推理方法，推出矛盾的结果．
(4)断定产生错误结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．概括地说，反证法的一般步骤为：否定结论、推理论证、导出矛盾、肯定结论．
明确反证法的证题步骤，掌握一些常见命题的否定形式，熟悉推出矛盾的几种常见类型，是用好反证法的关键．
1．反证法
假设原命题   (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明          ，从而证明了     ，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见矛盾类型
在反证法中，经过正确的推理后“得出矛盾”，所得矛盾主要是指与  矛盾，与    、   、 、   或    矛盾，与         矛盾．
[例1]　设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
[分析]　本题(1)是否定性命题，可以尝试反证法．
(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列．
当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则S1，S2，S3成等差数列．即2S2＝S1＋S3，
∴2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．
由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，q＝q2，
∵q≠1，∴q＝0，与q≠0矛盾．
[点评]　1.本题的解答依赖于等差和等比数列的概念和性质，体现了特殊化思想、分类讨论思想和正难则反的思维策略．对代数的推理能力要求较高．
2．结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．
3．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．
平面上有四个点，没有三点共线．证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
[证明]　假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D.考虑△ABC，点D在△ABC之内或之外两种情况．
(1)如果点D在△ABC之内(图1)，根据假设以D为顶点的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个圆周角等于360°矛盾．
(2)如果点D在△ABC之外(图2)，根据假设∠BAD、∠B、∠BCD、∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．
综上所述，原结论成立.
[分析]　本题中，含有“至少存在一个”词，可考虑使用反证法．
[点评]　1.反证法是利用原命题的否命题不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．
2．对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．
3．常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：
[例3]　已知：一点A和平面α.
求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．
[分析]　
[解析]　根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．
(1)如图1，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.
因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，
a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
(2)如图2，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，
所以AB⊥BC，AC⊥BC.
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．
[点评]　1.运用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证的结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了关键所在，对于三个步骤，绝不可死记，而要具有全面、扎实的基础知识，再灵活运用．
2．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．
求证：两条相交直线有且只有一个交点．
[证明]　假设结论不成立，即有两种可能：
无交点；不只有一个交点．
(1)若直线a，b无交点，那么a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾；
(2)若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
故假设不成立，原命题正确．
[例4]　已知0<a≤3，函数f(x)＝x3－ax在区间[1，＋∞)上是增函数，设当x0≥1，f(x0)≥1时，f(f(x0))＝x0，求证：f(x0)＝x0.
[分析]　要求证明存在某个对象具有某种特殊性质，而我们又无法具体地指出这个对象来，如本例，此时应考虑用反证法来解决．
[证明]　假设f(x0)≠x0，则必有f(x0)>x0或f(x0)<x0，
若f(x0)>x0≥1，由f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(f(x0))>f(x0)，
又f(f(x0))＝x0，∴x0>f(x0)，与假设矛盾，
若x0>f(x0)≥1，则f(x0)>f(f(x0))，
又f(f(x0))＝x0，∴f(x0)>x0也与假设矛盾．
综上所述，当x0≥1，f(x0)≥1且f(f(x0))＝x0时有f(x0)＝x0.
[点评]　(1)对于f(f(x0))的性质知之甚少，直接证明有困难，而用反证法，增加了反设这一条件，为我们利用函数的单调性创造了可能．
(2)反设中有两种情况，必须逐一否定．
已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2.
[证明]　假设p＋q＞2，那么p＞2－q，
∴p3＞(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.
将p3＋q3＝2代入得，6q2－12q＋6＜0，
即6(q－1)2＜0.
由此得出矛盾．∴p＋q≤2.
一、选择题
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用     (　　)
①结论相反判断，即假设　②原命题的结论
③公理、定理、定义等　　④原命题的条件
A．①④　　　　　　　　 B．①②③
C．①③④     D．②③
[答案]　C
[解析]　由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用，故应选C.
2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是      (　　)
A．两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
[答案]　C
[解析]　“最多只有一个”即为“至多一个”，反设应为“至少有两个”，故应选C.
3．如果两个实数之和为正数，则这两个数(　　)
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个正数
D．两个都是负数
[答案]　C
[解析]　假设两个数都是负数，则两个数之和为负数，与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.
二、填空题
4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是______________________________．
[答案]　存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
[解析]　全称命题的否定形式为特称命题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”．故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．
5．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是________．
[答案]　异面
[解析]　假设AC、BD共面，且AC⊂α，BD⊂α，则A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，∴AB⊂α，CD⊂α，这与AB、CD异面矛盾，∴AC、BD异面．